【NumPy】行列計算[Python]

2024年4月10日2024年10月20日

URLをコピーしました！

numpy

前回、Pythonでリスト内の要素（文字列）を結合するjoin関数を紹介しました。

行列の作り方

まずは行列を作っていきます。

先ほど見ていただいた通り、行列は2つの次元をもっています（実はさらに3次元の行列や4次元の行列もあるそうですが、それはまた別のお話）。

そこでまずは2次元のリストを作成します。

m1 = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
m2 = [[2], [4], [6]]

print(m1)
print(m2)
print(m1 * m2)

実行結果
[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
[[2], [4], [6]]
---------------------------------------------------------------------------
TypeError                                 Traceback (most recent call last)
Cell In[9], line 6
      4 print(m1)
      5 print(m2)
----> 6 print(m1 * m2)

TypeError: can't multiply sequence by non-int of type 'list'

ただしこのままではあくまでも2次元リストであり、行列ではないので、掛け算（行列でいう内積）をするとエラーとなってしまいます。

またnumpyの配列（np.array）にすると計算はできるようになりますが、行列計算ではありません。

import numpy as np

m1 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
m2 = np.array([[2], [4], [6]])

print(m1)
print(m2)
print(m1 * m2)

実行結果
[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
[[2]
 [4]
 [6]]
[[ 2  4  6]
 [16 20 24]
 [42 48 54]]

2次元リストを行列として認識させるには「np.matrix(リスト)」とする必要があります。

import numpy as np

m1 = np.matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
m2 = np.matrix([[2], [4], [6]])

print(m1)
print(m2)
print(m1 * m2)

実行結果
[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
[[2]
 [4]
 [6]]
[[ 28]
 [ 64]
 [100]]

また行列の内積を求めるのに「*」を用いましたが、他の方法として「np.dot(行列1, 行列2)」という方法、もしくは「行列1 @ 行列2」という方法があります。

import numpy as np

m1 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
m2 = np.array([[2], [4], [6]])

print(m1)
print(m2)
print(np.dot(m1, m2))
print(m1 @ m2)

実行結果
[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
[[2]
 [4]
 [6]]
[[ 28]
 [ 64]
 [100]]
[[ 28]
 [ 64]
 [100]]

逆行列の求め方

次に逆行列の求め方を見て見ましょう。

逆行列とはある行列にかけ合わせると単位行列となるものです。

例えばこんな感じで、左側の最初の行列に対して、2つ目の行列が逆行列、右側が単位行列です。

このような逆行列を求めるには「np.linalg.inv(行列)」を用います。

import numpy as np

m3 = np.matrix([[2, 5], [1, 3]])
m3_inv = np.linalg.inv(m3)
result = m3 * m3_inv

print(np.matrix(m3))
print(m3_inv)
print(result)

実行結果
[[2 5]
 [1 3]]
[[ 3. -5.]
 [-1.  2.]]
[[1. 0.]
 [0. 1.]]

他にも「行列**-1」や「行列.I」としても逆行列を求めることができます。

import numpy as np

m3 = np.matrix([[2, 5], [1, 3]])
m3_inv1 = np.linalg.inv(m3)
m3_inv2 = m3**-1
m3_inv3 = m3.I

print(m3_inv1)
print(m3_inv2)
print(m3_inv3)

実行結果
[[ 3. -5.]
 [-1.  2.]]
[[ 3. -5.]
 [-1.  2.]]
[[ 3. -5.]
 [-1.  2.]]

ただし全ての行列に対し逆行列が存在するわけではありません。

逆行列が存在しない場合、エラーとなってしまいます。

m1 = np.matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

print(m1)
print(np.linalg.inv(m1))

実行結果
[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
---------------------------------------------------------------------------
LinAlgError                               Traceback (most recent call last)
Cell In[27], line 4
      1 m1 = np.matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
      3 print(m1)
----> 4 print(np.linalg.inv(m1))

File /Library/Frameworks/Python.framework/Versions/3.10/lib/python3.10/site-packages/numpy/linalg/linalg.py:561, in inv(a)
    559 signature = 'D->D' if isComplexType(t) else 'd->d'
    560 extobj = get_linalg_error_extobj(_raise_linalgerror_singular)
--> 561 ainv = _umath_linalg.inv(a, signature=signature, extobj=extobj)
    562 return wrap(ainv.astype(result_t, copy=False))

File /Library/Frameworks/Python.framework/Versions/3.10/lib/python3.10/site-packages/numpy/linalg/linalg.py:112, in _raise_linalgerror_singular(err, flag)
    111 def _raise_linalgerror_singular(err, flag):
--> 112     raise LinAlgError("Singular matrix")

LinAlgError: Singular matrix

このような場合でも逆行列のような行列（擬似逆行列）を得る方法があり、「np.linalg.pinv(行列)」とすることで得られます。

m1 = np.matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
m1_inv = np.linalg.pinv(m1)
result = m1 * m1_inv

print(m1)
print(m1_inv)
print(result)

実行結果
[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
[[-6.38888889e-01 -1.66666667e-01  3.05555556e-01]
 [-5.55555556e-02  3.36727575e-17  5.55555556e-02]
 [ 5.27777778e-01  1.66666667e-01 -1.94444444e-01]]
[[ 0.83333333  0.33333333 -0.16666667]
 [ 0.33333333  0.33333333  0.33333333]
 [-0.16666667  0.33333333  0.83333333]]

擬似逆行列はどのような行列でも得ることができるのですが、逆行列は特定の条件の場合のみ存在します。

逆行列が存在するかどうかを調べるには「np.linalg.det(行列)」を使います。

結果が０となったら逆行列は存在せず、１となったら逆行列が存在します。

m1 = np.matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
m3 = np.matrix([[2, 5], [1, 3]])

print(np.linalg.det(m1))
print(np.linalg.det(m3))

実行結果
0.0
1.0

行列の縦と横を入れ替える方法

行列の縦と横を入れ替えるには「行列.T」、もしくは「行列.transpose()」を用います。

m1 = np.matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

print(m1)
print(m1.T)
print(m1.transpose())

実行結果
[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
[[1 4 7]
 [2 5 8]
 [3 6 9]]
[[1 4 7]
 [2 5 8]
 [3 6 9]]

次回は無名関数lambdaを紹介します。